Номер 152, страница 23 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. В окружности проведены радиусы $OD$, $OE$ и $OF$ (рис. 59). Найдите $FE$, если $\angle OFE = \angle ODE$ и $DE = 8$ см.

Рис. 59

152. В окружности проведены радиусы OD, OE и OF (рис. 59). Найдите FE, если $\angle OFE = \angle ODE$ и $DE = 8$ см.

Рис. 59

Рассмотрим треугольники $\triangle DOE$ и $\triangle FOE$.

Так как $OD$, $OE$ и $OF$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $O$, то их длины равны: $OD = OE = OF$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DOE$. Поскольку две его стороны равны ($OD = OE$), он является равнобедренным с основанием $DE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle ODE = \angle OED$.

Рассмотрим треугольник $\triangle FOE$. Поскольку две его стороны равны ($OF = OE$), он также является равнобедренным с основанием $FE$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle OFE = \angle OEF$.

По условию задачи дано равенство углов: $\angle OFE = \angle ODE$.Из этого и предыдущих пунктов следует, что все четыре угла при основаниях треугольников $\triangle DOE$ и $\triangle FOE$ равны между собой:$\angle ODE = \angle OED = \angle OFE = \angle OEF$.

Теперь докажем, что треугольники $\triangle DOE$ и $\triangle FOE$ равны. Для этого воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

1. $OD = OF$ (как радиусы одной окружности).
2. $OE$ — общая сторона для обоих треугольников.
3. Углы $\angle DOE$ и $\angle FOE$ также равны. Покажем это. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
Для $\triangle DOE$: $\angle DOE = 180^\circ - (\angle ODE + \angle OED) = 180^\circ - 2\angle ODE$.
Для $\triangle FOE$: $\angle FOE = 180^\circ - (\angle OFE + \angle OEF) = 180^\circ - 2\angle OFE$.
Так как $\angle ODE = \angle OFE$, то и $\angle DOE = \angle FOE$.

Поскольку все три условия первого признака равенства треугольников выполняются, то $\triangle DOE \cong \triangle FOE$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $DE$ треугольника $\triangle DOE$ соответствует стороне $FE$ треугольника $\triangle FOE$, значит, $DE = FE$.

По условию задачи $DE = 8$ см. Следовательно, $FE = 8$ см.

Ответ: 8 см.