Номер 157, страница 24 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. На одной из сторон острого угла отмечены точки $A$ и $B$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $A$ и $B$ и находящихся на расстоянии $1,5$ см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

157. На одной из сторон острого угла отмечены точки $A$ и $B$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $A$ и $B$ и находящихся на расстоянии 1,5 см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

Искомое геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, удовлетворяющих одновременно двум заданным условиям. Рассмотрим каждое условие отдельно.

1. Первое условие: точки должны быть равноудалены от точек $A$ и $B$. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Обозначим эту прямую как $m$. Прямая $m$ перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину.

2. Второе условие: точки должны находиться на расстоянии 1,5 см от прямой, содержащей вторую сторону угла. Пусть прямая $l$ содержит вторую сторону угла. Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии (в данном случае 1,5 см) от некоторой прямой, представляет собой две прямые, параллельные данной прямой и расположенные по разные стороны от неё на этом расстоянии. Обозначим эти две параллельные прямые как $p_1$ и $p_2$.

Искомое ГМТ является пересечением множеств точек, найденных для каждого из условий. То есть, мы ищем точки пересечения прямой $m$ с парой прямых $p_1$ и $p_2$.

Проанализируем взаимное расположение этих прямых. Пусть первая сторона угла, на которой лежат точки $A$ и $B$, находится на прямой $k$. Тогда, по определению, серединный перпендикуляр $m$ перпендикулярен прямой $k$ ($m \perp k$). Прямые $p_1$ и $p_2$ по построению параллельны прямой $l$, содержащей вторую сторону угла ($p_1 \parallel l$ и $p_2 \parallel l$).

В условии сказано, что угол — острый. Это означает, что прямые $k$ и $l$ пересекаются под углом, не равным $90^\circ$. Поскольку $m \perp k$, а $k$ не перпендикулярна $l$, то прямая $m$ не может быть параллельна прямой $l$. Так как прямые $p_1$ и $p_2$ параллельны $l$, то прямая $m$ также не параллельна ни прямой $p_1$, ни прямой $p_2$.

Две непараллельные прямые на плоскости всегда пересекаются в одной-единственной точке. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $p_1$ ровно в одной точке и прямую $p_2$ также ровно в одной точке.

Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из двух точек.

Ответ: искомое геометрическое место точек состоит из двух точек, которые являются точками пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $AB$ и двух прямых, параллельных второй стороне угла и удаленных от неё на 1,5 см.