Номер 159, страница 24 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Найдите ГМТ, находящихся на расстоянии 1 см от прямой $a$ и 2 см от прямой $b$.

159. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Найдите ГМТ, находящихся на расстоянии 1 см от прямой $a$ и 2 см от прямой $b$.

Геометрическое место точек (ГМТ), находящихся на заданном расстоянии $d$ от некоторой прямой, представляет собой две прямые, параллельные данной, находящиеся по разные стороны от нее на расстоянии $d$.

В данной задаче искомые точки должны удовлетворять двум условиям одновременно:

1. Находиться на расстоянии 1 см от прямой $a$.
2. Находиться на расстоянии 2 см от прямой $b$.

ГМТ, удовлетворяющих первому условию, — это пара прямых, назовем их $a_1$ и $a_2$, которые параллельны прямой $a$ и расположены на расстоянии 1 см от нее с обеих сторон.

ГМТ, удовлетворяющих второму условию, — это пара прямых, назовем их $b_1$ и $b_2$, которые параллельны прямой $b$ и расположены на расстоянии 2 см от нее с обеих сторон.

Искомое ГМТ является пересечением этих двух множеств прямых. Так как исходные прямые $a$ и $b$ пересекаются, то любая прямая, параллельная $a$ (то есть $a_1$ или $a_2$), будет пересекать любую прямую, параллельную $b$ (то есть $b_1$ или $b_2$).

Следовательно, мы получим $2 \times 2 = 4$ точки пересечения:

• Точка пересечения прямых $a_1$ и $b_1$.
• Точка пересечения прямых $a_1$ и $b_2$.
• Точка пересечения прямых $a_2$ и $b_1$.
• Точка пересечения прямых $a_2$ и $b_2$.

Эти четыре точки являются вершинами параллелограмма, так как они лежат на пересечении двух пар параллельных прямых ($a_1 \parallel a_2$ и $b_1 \parallel b_2$). Центр симметрии этого параллелограмма совпадает с точкой пересечения прямых $a$ и $b$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это четыре точки, которые являются вершинами некоторого параллелограмма.