Номер 165, страница 25 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. На рисунке 63 две окружности имеют общий центр $O$. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные $DE$ и $KP$, пересекающиеся в точке $N$. Найдите $NE$, если $ND = 3 \text{ см}$, а радиус меньшей окружности равен 4 см.

Рис. 63

165. На рисунке 63 две окружности имеют общий центр $O$. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные $DE$ и $KP$, пересекающиеся в точке $N$. Найдите $NE$, если $ND = 3$ см, а радиус меньшей окружности равен 4 см.

Рис. 63

Пусть r - радиус меньшей окружности. По условию, $r = 4$ см. Обозначим точки касания прямых DE и KP с меньшей окружностью как A и B соответственно.

Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OA \perp DE$ и $OB \perp KP$.

Рассмотрим четырехугольник OANB. В нем три угла прямые: $\angle OAN = 90^\circ$ (так как $OA \perp DE$), $\angle OBN = 90^\circ$ (так как $OB \perp KP$) и $\angle ANB = 90^\circ$ (по условию $DE \perp KP$). Поскольку сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$, то четвертый угол $\angle AOB$ также равен $360^\circ - 3 \cdot 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, OANB - прямоугольник.

Стороны OA и OB этого прямоугольника являются радиусами меньшей окружности, поэтому $OA = OB = r = 4$ см. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом. Следовательно, OANB - квадрат со стороной 4 см. Отсюда $AN = 4$ см.

Теперь рассмотрим большую окружность. Отрезок DE является ее хордой. Так как $OA \perp DE$, то отрезок OA является перпендикуляром, опущенным из центра окружности O на хорду DE. По свойству хорды, перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Значит, точка A - середина хорды DE, и $DA = AE$.

Длину отрезка DA найдем как сумму длин отрезков DN и NA: $DA = DN + NA$. Из условия задачи $DN = 3$ см, а $NA = 4$ см, как мы нашли ранее. $DA = 3 + 4 = 7$ см.

Так как $DA = AE$, то $AE = 7$ см. В свою очередь, отрезок AE состоит из отрезков AN и NE: $AE = AN + NE$. Подставляя известные значения, получаем: $7 = 4 + NE$. Отсюда находим NE: $NE = 7 - 4 = 3$ см.

Ответ: 3 см.