Номер 142, страница 22 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Из точки $M$ к прямой $AB$ проведены наклонные $MA$ и $MB$ и перпендикуляр $MC$ так, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ и $\angle BMC = 35^\circ$. Сравните отрезки $MA$ и $BC$.

142. Из точки $M$ к прямой $AB$ проведены наклонные $MA$ и $MB$ и перпендикуляр $MC$ так, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ и $\angle BMC = 35^\circ$. Сравните отрезки $MA$ и $BC$.

По условию, $MC$ — перпендикуляр к прямой $AB$, следовательно, треугольники $ \triangle MAC $ и $ \triangle MBC $ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $C$ ($ \angle MCA = \angle MCB = 90^\circ $).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle MBC $. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Зная, что $ \angle BMC = 35^\circ $, найдем угол $ \angle MBC $:

$ \angle MBC = 90^\circ - \angle BMC = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ $.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В $ \triangle MBC $ сравним углы $ \angle MBC $ и $ \angle BMC $:

$ 55^\circ > 35^\circ $, следовательно $ \angle MBC > \angle BMC $.

Это означает, что сторона, лежащая напротив угла $ \angle MBC $ (катет $MC$), больше стороны, лежащей напротив угла $ \angle BMC $ (катет $BC$). Таким образом, мы получаем неравенство: $MC > BC$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle MAC $. В этом треугольнике $MA$ является гипотенузой, а $MC$ — катетом. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Следовательно, $MA > MC$.

Мы получили два неравенства: $MA > MC$ и $MC > BC$. Из них по свойству транзитивности следует, что $MA > BC$.

Ответ: $MA > BC$.