Номер 136, страница 22 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Прямоугольные треугольники $ABC$ и $ABD$ имеют общую гипотенузу $AB$, а точки $C$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AB$. Докажите, что если $AD = BC$, то прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

136. Прямоугольные треугольники $ABC$ и $ABD$ имеют общую гипотенузу $AB$, а точки $C$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AB$. Докажите, что если $AD = BC$, то прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABC$ и $ABD$. По условию задачи, $AB$ является их общей гипотенузой. Это означает, что прямые углы в данных треугольниках — это углы, противолежащие гипотенузе, то есть $\angle ACB = 90^{\circ}$ и $\angle ADB = 90^{\circ}$.

Сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BAD$:
1. $AB$ — общая гипотенуза.
2. $BC = AD$ — по условию (равные катеты).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BAD$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в том числе и углов. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. В треугольнике $\triangle ABC$ напротив катета $BC$ лежит угол $\angle CAB$. В треугольнике $\triangle BAD$ напротив катета $AD$ лежит угол $\angle ABD$. Так как $BC = AD$, то и соответствующие углы равны: $\angle CAB = \angle ABD$.

Теперь рассмотрим прямые $AC$ и $BD$ и прямую $AB$ в качестве секущей. По условию, точки $C$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AB$. Это означает, что углы $\angle CAB$ и $\angle ABD$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $AC$ и $BD$ секущей $AB$.

Так как мы доказали, что накрест лежащие углы $\angle CAB$ и $\angle ABD$ равны, то по признаку параллельности двух прямых, прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.