Номер 134, страница 21 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. На рисунке 55 $DA \perp EK$, $FB \perp EK$, $DA = FB$, $\angle ADK = \angle BFE$. Докажите, что $\angle DEK = \angle FKE$.

Рис. 55

134. На рисунке 55 $DA \perp EK$, $FB \perp EK$, $DA = FB$, $\angle ADK = \angle BFE$. Докажите, что $\angle DEK = \angle FKE$.

Рис. 55

Для того чтобы доказать, что $\angle DEK = \angle FKE$, мы последовательно докажем равенство двух пар треугольников, используя данные из условия задачи.

1. Доказательство равенства $\triangle ADK$ и $\triangle BFE$

Рассмотрим треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle BFE$. Согласно условию задачи, имеем:

- $DA \perp EK$, из чего следует, что $\triangle ADK$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DAK = 90^\circ$.
- $FB \perp EK$, из чего следует, что $\triangle BFE$ является прямоугольным с прямым углом $\angle FBE = 90^\circ$.
- $DA = FB$ (по условию).
- $\angle ADK = \angle BFE$ (по условию).

Сравним $\triangle ADK$ и $\triangle BFE$. У них:

1. $\angle ADK = \angle BFE$ (по условию).
2. $DA = FB$ (по условию).
3. $\angle DAK = \angle FBE = 90^\circ$ (как углы, образованные перпендикулярами к прямой $EK$).

Сторона $DA$ в $\triangle ADK$ прилежит к углам $\angle ADK$ и $\angle DAK$.
Сторона $FB$ в $\triangle BFE$ прилежит к углам $\angle BFE$ и $\angle FBE$.
Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ADK \cong \triangle BFE$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон, в частности, $AK = BE$.

2. Доказательство равенства $\triangle DAE$ и $\triangle FBK$

Из рисунка видно, что точки E, A, B, K лежат на одной прямой. Тогда длину отрезка $AK$ можно представить как сумму длин отрезков $AB$ и $BK$: $AK = AB + BK$. Аналогично, длина отрезка $BE$ равна сумме длин отрезков $AE$ и $AB$: $BE = AE + AB$.

Так как мы ранее доказали, что $AK = BE$, мы можем записать равенство:

$AB + BK = AE + AB$

Вычитая длину отрезка $AB$ из обеих частей равенства, получаем:

$BK = AE$

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle DAE$ и $\triangle FBK$.

У них:

- $DA = FB$ (по условию).
- $AE = BK$ (доказано выше).
- $\angle DAE = \angle FBK = 90^\circ$ (так как $DA \perp EK$ и $FB \perp EK$).

Таким образом, $\triangle DAE \cong \triangle FBK$ по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними).

Заключение

Из равенства треугольников $\triangle DAE \cong \triangle FBK$ следует равенство их соответственных углов. Следовательно, $\angle DEA = \angle FKB$.

Поскольку точки A и B лежат на отрезке $EK$, то угол $\angle DEA$ — это тот же угол, что и $\angle DEK$, а угол $\angle FKB$ — это тот же угол, что и $\angle FKE$.

Таким образом, мы доказали, что $\angle DEK = \angle FKE$.

Ответ: Равенство $\angle DEK = \angle FKE$ доказано.