Номер 137, страница 22 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведённой из вершины этого угла.

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведённой из вершины этого угла.

Дано:
$ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ — прямоугольные треугольники.
$ \angle C = \angle C_1 = 90^\circ $.
$ \angle A = \angle A_1 $ — равные острые углы.
$ AL $ — биссектриса угла $ \angle A $ в $ \triangle ABC $.
$ A_1L_1 $ — биссектриса угла $ \angle A_1 $ в $ \triangle A_1B_1C_1 $.
$ AL = A_1L_1 $.

Доказать:
$ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $ \triangle ALC $ и $ \triangle A_1L_1C_1 $. Поскольку $ \angle C = 90^\circ $ и $ \angle C_1 = 90^\circ $, эти треугольники также являются прямоугольными.

2. Так как $ AL $ является биссектрисой угла $ \angle A $, то $ \angle CAL = \frac{1}{2} \angle A $. Аналогично, так как $ A_1L_1 $ является биссектрисой угла $ \angle A_1 $, то $ \angle C_1A_1L_1 = \frac{1}{2} \angle A_1 $. Из условия, что $ \angle A = \angle A_1 $, следует $ \angle CAL = \angle C_1A_1L_1 $.

3. Сравним прямоугольные треугольники $ \triangle ALC $ и $ \triangle A_1L_1C_1 $. У них:
- гипотенуза $ AL $ равна гипотенузе $ A_1L_1 $ (по условию);
- острый угол $ \angle CAL $ равен острому углу $ \angle C_1A_1L_1 $ (по доказанному).
Следовательно, $ \triangle ALC \cong \triangle A_1L_1C_1 $ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу).

4. Из равенства треугольников $ \triangle ALC $ и $ \triangle A_1L_1C_1 $ следует равенство их соответствующих сторон, в частности, катетов: $ AC = A_1C_1 $.

5. Теперь рассмотрим исходные прямоугольные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу), так как:
- $ AC = A_1C_1 $ (равные катеты);
- $ \angle A = \angle A_1 $ (равные прилежащие острые углы).

Таким образом, $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников доказано.