Номер 140, страница 22 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведённая к гипотенузе, равны 24 см, 30 см, 40 см и 50 см. Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведённой к гипотенузе.

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведённая к гипотенузе, равны 24 см, 30 см, 40 см и 50 см. Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведённой к гипотенузе.

Пусть $a$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника, $c$ - гипотенуза, а $h$ - высота, проведенная к гипотенузе. Нам даны четыре значения длин: 24 см, 30 см, 40 см и 50 см. Наша задача - сопоставить эти длины с соответствующими элементами треугольника.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Из набора чисел {24, 30, 40, 50} выберем три наибольших в качестве кандидатов на стороны треугольника: 30, 40 и 50. В этом случае гипотенузой $c$ должна быть сторона длиной 50 см, а катетами $a$ и $b$ — стороны 30 см и 40 см.

Проверим, удовлетворяют ли эти стороны теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$
$c^2 = 50^2 = 2500$
Поскольку $2500 = 2500$, наше предположение верно. Таким образом, катеты равны 30 см и 40 см, а гипотенуза — 50 см.

Оставшееся значение из исходного набора — 24 см. Следовательно, это длина высоты, проведенной к гипотенузе: $h = 24$ см.

Для окончательной проверки воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника. Площадь можно вычислить двумя способами: через катеты ($S = \frac{1}{2}ab$) и через гипотенузу и высоту к ней ($S = \frac{1}{2}ch$). Из этого следует, что должно выполняться равенство $ab = ch$.
Подставим наши значения:
$a \cdot b = 30 \cdot 40 = 1200$
$c \cdot h = 50 \cdot 24 = 1200$
Равенство $1200 = 1200$ подтверждает, что все величины определены правильно.

Ответ:
Длины катетов этого треугольника: 30 см и 40 см.
Длина гипотенузы: 50 см.
Длина высоты, проведённой к гипотенузе: 24 см.