Номер 144, страница 22 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. В треугольнике KPE известно, что $\angle P = 90^\circ$, $\angle K = 60^\circ$. На катете PE отметили такую точку M, что $\angle KMP = 60^\circ$. Найдите PM, если $EM = 16 \text{ см}$.

144. В треугольнике $KPE$ известно, что $\angle P = 90^\circ$, $\angle K = 60^\circ$. На катете $PE$ отметили такую точку $M$, что $\angle KMP = 60^\circ$. Найдите $PM$, если $EM = 16$ см.

Рассмотрим треугольник $KPE$. По условию, это прямоугольный треугольник, так как $\angle P = 90^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому мы можем найти угол $E$:

$\angle E = 180^{\circ} - \angle P - \angle K = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $KMP$ (поскольку $\angle P = 90^{\circ}$). Сумма его острых углов равна $90^{\circ}$. Нам известен $\angle KMP = 60^{\circ}$, тогда угол $PKM$ равен:

$\angle PKM = 90^{\circ} - \angle KMP = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $KME$. Найдем его угол $MKE$:

$\angle MKE = \angle PKE - \angle PKM = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$.

В треугольнике $KME$ два угла равны: $\angle E = 30^{\circ}$ и $\angle MKE = 30^{\circ}$. Следовательно, треугольник $KME$ является равнобедренным с основанием $KE$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, сторона $KM$ (противолежащая углу $E$) равна стороне $EM$ (противолежащей углу $MKE$).

$KM = EM$.

По условию задачи $EM = 16$ см, следовательно, $KM = 16$ см.

Вернемся к прямоугольному треугольнику $KMP$. В нем известен угол $\angle PKM = 30^{\circ}$ и гипотенуза $KM = 16$ см. Катет $PM$ лежит напротив угла в $30^{\circ}$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы.

$PM = \frac{1}{2} \cdot KM = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Ответ: 8 см.