Номер 138, страница 22 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ провели высоты $BD$ и $B_1D_1$. Докажите, что если $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

138. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ провели высоты $BD$ и $B_1D_1$. Докажите, что если $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta ABD$ и $\Delta A_1B_1D_1$, которые образованы высотами $BD$ и $B_1D_1$ соответственно. В этих треугольниках углы при вершинах $D$ и $D_1$ прямые: $\angle BDA = 90^\circ$ и $\angle B_1D_1A_1 = 90^\circ$.

По условию задачи, гипотенуза $AB$ треугольника $\Delta ABD$ равна гипотенузе $A_1B_1$ треугольника $\Delta A_1B_1D_1$, а острый угол $\angle A$ равен острому углу $\angle A_1$. Следовательно, прямоугольные треугольники $\Delta ABD$ и $\Delta A_1B_1D_1$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников $\Delta ABD$ и $\Delta A_1B_1D_1$ следует равенство их соответственных углов, а именно $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Теперь рассмотрим углы $\angle ABC$ и $\angle A_1B_1C_1$. Поскольку исходные треугольники остроугольные, высоты $BD$ и $B_1D_1$ лежат внутри них. Таким образом, угол $\angle ABC$ можно представить как сумму двух углов: $ \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC $

Аналогично для угла $\angle A_1B_1C_1$: $ \angle A_1B_1C_1 = \angle A_1B_1D_1 + \angle D_1B_1C_1 $

Мы уже доказали, что $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$. По условию задачи также дано, что $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$. Складывая эти два равенства, получаем: $ \angle ABD + \angle DBC = \angle A_1B_1D_1 + \angle D_1B_1C_1 $

Из этого следует, что $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.

Теперь мы можем доказать равенство исходных треугольников $\Delta ABC$ и $\Delta A_1B_1C_1$, используя второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). У нас есть:
1. $AB = A_1B_1$ (по условию).
2. $\angle A = \angle A_1$ (по условию).
3. $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (доказано выше).

Так как сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то $\Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.