Номер 135, страница 22 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ провели прямую, пересекающую сторону $AC$ в точке $K$. Из точек $A$ и $C$ на прямую $BK$ опустили перпендикуляры $AD$ и $CE$. Докажите, что если $AD = CE$, то отрезок $BK$ — медиана треугольника $ABC$.

135. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ провели прямую, пересекающую сторону $AC$ в точке $K$. Из точек $A$ и $C$ на прямую $BK$ опустили перпендикуляры $AD$ и $CE$. Докажите, что если $AD = CE$, то отрезок $BK$ — медиана на треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CEK$.

По условию задачи, из точек $A$ и $C$ на прямую $BK$ опущены перпендикуляры $AD$ и $CE$. Это означает, что $\triangle ADK$ и $\triangle CEK$ являются прямоугольными треугольниками, где $\angle ADK = 90^\circ$ и $\angle CEK = 90^\circ$.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

1. Катет $AD$ равен катету $CE$ по условию ($AD = CE$).

2. Угол $\angle AKD$ равен углу $\angle CKE$, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AC$ и $BK$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CEK$ равны по катету и противолежащему ему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, гипотенуза $AK$ треугольника $\triangle ADK$ равна гипотенузе $CK$ треугольника $\triangle CEK$. Таким образом, $AK = CK$.

Так как точка $K$ лежит на стороне $AC$ и делит её на два равных отрезка ($AK = CK$), то точка $K$ является серединой стороны $AC$.

По определению, медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, отрезок $BK$ является медианой треугольника $ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Так как равенство перпендикуляров $AD=CE$ приводит к равенству отрезков $AK=CK$, точка $K$ является серединой стороны $AC$, и, следовательно, отрезок $BK$ — медиана треугольника $ABC$.