Номер 128, страница 21 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Может ли наибольшая сторона треугольника лежать против угла $42^\circ$?

128. Может ли наибольшая сторона треугольника лежать против угла $42^\circ$?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся свойством углов и сторон треугольника: в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Предположим, что наибольшая сторона треугольника лежит против угла, равного $42°$. Это означает, что угол в $42°$ должен быть наибольшим углом в этом треугольнике. Обозначим углы треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Пусть $\alpha = 42°$.

Если $\alpha$ — наибольший угол, то два других угла, $\beta$ и $\gamma$, должны быть меньше или равны ему:
$\beta \le 42°$
$\gamma \le 42°$

Теперь рассмотрим сумму углов этого треугольника. Сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180°$:
$\alpha + \beta + \gamma = 180°$

Подставим наши значения в это равенство. Максимально возможная сумма углов при нашем предположении будет:
$42° + 42° + 42° = 126°$

Так как $\beta \le 42°$ и $\gamma \le 42°$, то сумма всех трех углов будет $\alpha + \beta + \gamma \le 42° + 42° + 42° = 126°$.
Полученное значение $126°$ строго меньше $180°$. Это противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Чтобы сумма углов равнялась $180°$, хотя бы один из двух других углов ($\beta$ или $\gamma$) обязан быть больше $42°$. А если в треугольнике есть угол больше $42°$, то угол в $42°$ не является наибольшим. Значит, и противолежащая ему сторона не может быть наибольшей.

Ответ: нет, не может.