Номер 126, страница 21 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Существует ли треугольник $ABC$, в котором $\angle A = 32^\circ$, $\angle B = 74^\circ$, $BC = 6$ см, $AC = 5$ см?

126. Существует ли треугольник ABC, в котором $\angle A = 32^\circ$, $\angle B = 74^\circ$, $BC = 6\text{ см}$, $AC = 5\text{ см}$?

Для того чтобы определить, существует ли треугольник с заданными параметрами, можно воспользоваться свойством соотношения сторон и углов треугольника. Это свойство гласит, что в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против меньшего угла — меньшая сторона.

В условии даны два угла треугольника $ABC$: $ \angle A = 32^\circ $ и $ \angle B = 74^\circ $.

Сравним их величины: $ 74^\circ > 32^\circ $, следовательно, $ \angle B > \angle A $.

Согласно вышеупомянутому свойству, сторона, лежащая против угла $B$ (это сторона $AC$), должна быть длиннее стороны, лежащей против угла $A$ (это сторона $BC$). Таким образом, для существования такого треугольника должно выполняться неравенство $ AC > BC $.

Теперь обратимся к длинам сторон, указанным в условии: $ BC = 6 $ см и $ AC = 5 $ см.

Сравнивая эти длины, получаем $ 5 \text{ см} < 6 \text{ см} $, то есть $ AC < BC $.

Возникло противоречие: из сравнения углов следует, что должно быть $ AC > BC $, а согласно заданным длинам сторон, $ AC < BC $. Такое одновременное выполнение двух противоположных неравенств невозможно.

К этому же выводу можно прийти, используя теорему синусов, которая утверждает, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла является величиной постоянной для всех сторон данного треугольника: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $.

Для нашего случая это означает, что должно выполняться равенство $ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} $.

Подставим известные значения: $ \frac{5}{\sin(74^\circ)} = \frac{6}{\sin(32^\circ)} $.

Это равенство можно переписать в виде пропорции: $ \frac{AC}{BC} = \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} $, то есть $ \frac{5}{6} = \frac{\sin(74^\circ)}{\sin(32^\circ)} $.

Так как функция синуса в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$ является возрастающей, а $ 74^\circ > 32^\circ $, то и $ \sin(74^\circ) > \sin(32^\circ) $. Отсюда следует, что их отношение $ \frac{\sin(74^\circ)}{\sin(32^\circ)} > 1 $.

В то же время, отношение длин сторон $ \frac{5}{6} < 1 $. Таким образом, мы снова приходим к противоречию, так как число, которое меньше единицы, не может быть равно числу, которое больше единицы.

Следовательно, треугольник с заданными параметрами не существует.

Ответ: нет, такой треугольник не существует.