Номер 120, страница 20 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. В прямоугольном треугольнике ABC ($\angle C = 90^\circ$) проведена биссектриса BD. Найдите острые углы треугольника ABC, если $\angle BDC = 56^\circ$.

120. В прямоугольном треугольнике ABC ($\angle C = 90^\circ$) проведена биссектриса BD. Найдите острые углы треугольника ABC, если $\angle BDC = 56^\circ$.

Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный и $ \angle C = 90° $, то треугольник $BDC$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Рассмотрим треугольник $BDC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Нам известны два угла в треугольнике $BDC$: $ \angle BCD = 90° $ и $ \angle BDC = 56° $. Можем найти третий угол $ \angle DBC $:

$ \angle DBC = 180° - \angle BCD - \angle BDC = 180° - 90° - 56° = 34° $

По условию, $BD$ — биссектриса угла $ \angle ABC $. Это значит, что она делит угол $ \angle ABC $ на два равных угла, то есть $ \angle ABD = \angle DBC $. Следовательно, величина угла $ \angle ABC $ в два раза больше величины угла $ \angle DBC $:

$ \angle ABC = 2 \cdot \angle DBC = 2 \cdot 34° = 68° $

Теперь мы нашли один из острых углов треугольника $ABC$. Второй острый угол, $ \angle A $, можно найти, зная, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$:

$ \angle A + \angle ABC = 90° $

$ \angle A = 90° - \angle ABC = 90° - 68° = 22° $

Таким образом, острые углы треугольника $ABC$ — это $ \angle A $ и $ \angle ABC $.

Ответ: 22° и 68°.