Номер 116, страница 20 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Биссектрисы углов $E$ и $F$ треугольника $DEF$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $EDF$, если $\angle EOF = 115^\circ$.

116. Биссектрисы углов $E$ и $F$ треугольника $DEF$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $EDF$, если $\angle EOF = 115^\circ$.

Дано:
Треугольник $DEF$,
$EO$ — биссектриса угла $∠DEF$,
$FO$ — биссектриса угла $∠DFE$,
$O$ — точка пересечения биссектрис,
$∠EOF = 115°$.

Найти:
$∠EDF$.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $EOF$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Поэтому для треугольника $EOF$ справедливо равенство:

$∠OEF + ∠OFE + ∠EOF = 180°$

Подставим известное значение угла $∠EOF = 115°$ в это уравнение:

$∠OEF + ∠OFE + 115° = 180°$

Выразим сумму углов $∠OEF$ и $∠OFE$:

$∠OEF + ∠OFE = 180° - 115° = 65°$

2. Согласно условию, отрезки $EO$ и $FO$ являются биссектрисами углов $∠DEF$ и $∠DFE$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Следовательно:

$∠OEF = \frac{1}{2}∠DEF$

$∠OFE = \frac{1}{2}∠DFE$

3. Теперь подставим эти выражения в равенство, которое мы получили в первом пункте:

$\frac{1}{2}∠DEF + \frac{1}{2}∠DFE = 65°$

Вынесем множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\frac{1}{2}(∠DEF + ∠DFE) = 65°$

Отсюда найдем сумму углов $∠DEF$ и $∠DFE$ треугольника $DEF$:

$∠DEF + ∠DFE = 2 \cdot 65° = 130°$

4. Наконец, рассмотрим исходный треугольник $DEF$. Сумма его углов также равна $180°$:

$∠EDF + ∠DEF + ∠DFE = 180°$

Мы уже вычислили, что сумма $∠DEF + ∠DFE = 130°$. Подставим это значение в формулу:

$∠EDF + 130° = 180°$

Теперь найдем искомый угол $∠EDF$:

$∠EDF = 180° - 130° = 50°$

Ответ: 50°.