Номер 117, страница 20 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен $124^\circ$. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен $124^{\circ}$. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике биссектрисы двух углов могут быть проведены двумя различными способами, что приводит к двум возможным решениям задачи. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Биссектрисы проведены из углов при основании.

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ углы при основании $\angle A = \angle C = \alpha$, а угол при вершине $\angle B = \beta$. Биссектрисы $AO$ и $CO$ углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$. В треугольнике $AOC$ углы $\angle OAC = \angle OCA = \frac{\alpha}{2}$.

Сумма углов в треугольнике $AOC$ составляет $180^\circ$, поэтому угол $\angle AOC$ равен:

$\angle AOC = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - \alpha$.

При пересечении биссектрис образуются смежные углы. По условию, один из них равен $124^\circ$. Этот угол является тупым. Поскольку угол при основании равнобедренного треугольника $\alpha$ всегда острый ($\alpha < 90^\circ$), то угол $\angle AOC = 180^\circ - \alpha$ будет тупым. Следовательно, $\angle AOC = 124^\circ$.

$180^\circ - \alpha = 124^\circ$

$\alpha = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$.

Таким образом, углы при основании равны $56^\circ$. Угол при вершине равен:

$\beta = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 56^\circ = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$.

В этом случае углы треугольника равны $56^\circ, 56^\circ, 68^\circ$.

Ответ: $56^\circ, 56^\circ, 68^\circ$.

Случай 2: Биссектрисы проведены из угла при основании и угла при вершине.

Пусть биссектрисы проведены из угла при основании $A$ ($\angle A = \alpha$) и угла при вершине $B$ ($\angle B = \beta$). Они пересекаются в точке $O$. В треугольнике $AOB$ углы $\angle OAB = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle OBA = \frac{\beta}{2}$. Угол $\angle AOB$ равен:

$\angle AOB = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Из свойства суммы углов исходного треугольника ($2\alpha + \beta = 180^\circ$) выразим сумму $\alpha + \beta = 180^\circ - \alpha$. Подставим это в формулу для $\angle AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\alpha}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$.

Так как $\alpha > 0$, этот угол всегда тупой. Следовательно, $\angle AOB = 124^\circ$.

$90^\circ + \frac{\alpha}{2} = 124^\circ$

$\frac{\alpha}{2} = 124^\circ - 90^\circ = 34^\circ \implies \alpha = 68^\circ$.

Таким образом, углы при основании равны $68^\circ$. Угол при вершине равен:

$\beta = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 68^\circ = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$.

В этом случае углы треугольника равны $68^\circ, 68^\circ, 44^\circ$.

Ответ: $68^\circ, 68^\circ, 44^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку мы нашли два различных набора углов для равнобедренного треугольника, которые удовлетворяют условию задачи, то задача имеет два решения.

Ответ: 2.