Номер 115, страница 20 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них на 24° больше другого. Сколько решений имеет задача?

115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них на $24^\circ$ больше другого. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны, а третий угол — при вершине. Условие, что один угол на $24^\circ$ больше другого, допускает два варианта: либо угол при вершине больше угла при основании, либо наоборот. Рассмотрим оба случая. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них на 24° больше другого.

Случай 1: Угол при вершине на 24° больше угла при основании.

Пусть каждый из двух равных углов при основании равен $x$. Тогда угол при вершине будет равен $x + 24^\circ$. Составим уравнение, используя теорему о сумме углов треугольника:

$x + x + (x + 24^\circ) = 180^\circ$

$3x + 24^\circ = 180^\circ$

$3x = 180^\circ - 24^\circ$

$3x = 156^\circ$

$x = 156^\circ / 3$

$x = 52^\circ$

Таким образом, углы при основании равны $52^\circ$ каждый, а угол при вершине равен $52^\circ + 24^\circ = 76^\circ$. Проверим: $52^\circ + 52^\circ + 76^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $52^\circ, 52^\circ, 76^\circ$.

Случай 2: Угол при основании на 24° больше угла при вершине.

Пусть угол при вершине равен $x$. Тогда каждый из двух равных углов при основании будет равен $x + 24^\circ$. Составим уравнение:

$x + (x + 24^\circ) + (x + 24^\circ) = 180^\circ$

$3x + 48^\circ = 180^\circ$

$3x = 180^\circ - 48^\circ$

$3x = 132^\circ$

$x = 132^\circ / 3$

$x = 44^\circ$

Таким образом, угол при вершине равен $44^\circ$, а углы при основании равны $44^\circ + 24^\circ = 68^\circ$ каждый. Проверим: $44^\circ + 68^\circ + 68^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $44^\circ, 68^\circ, 68^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

Мы рассмотрели все возможные варианты, удовлетворяющие условию задачи. Оба случая привели к различным, но математически корректным наборам углов для равнобедренного треугольника. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.