Номер 121, страница 20 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Высота $CH$ и биссектриса $BK$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $D$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle BDC = 118^\circ$.

121. Высота $CH$ и биссектриса $BK$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $D$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle BDC = 118^\circ$.

Рассмотрим углы $\angle BDC$ и $\angle BDH$. Так как точки $C, D, H$ лежат на одной прямой, которой является высота $CH$, эти углы — смежные. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$.

$\angle BDH = 180^{\circ} - \angle BDC = 180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольник $BDH$. Поскольку $CH$ — высота треугольника $ABC$, опущенная на сторону $AB$, то $CH \perp AB$, и, следовательно, $\angle BHD = 90^{\circ}$. Таким образом, треугольник $BDH$ является прямоугольным.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$. Для треугольника $BDH$ это означает:

$\angle HBD + \angle BDH = 90^{\circ}$.

Из этого соотношения мы можем найти угол $\angle HBD$:

$\angle HBD = 90^{\circ} - \angle BDH = 90^{\circ} - 62^{\circ} = 28^{\circ}$.

По условию, $BK$ — биссектриса угла $\angle ABC$. Точка $D$ является точкой пересечения высоты и биссектрисы, поэтому угол $\angle HBD$ совпадает с углом $\angle KBC$. Биссектриса делит угол пополам, поэтому:

$\angle ABC = 2 \cdot \angle KBC = 2 \cdot \angle HBD$.

Подставляем найденное значение угла $\angle HBD$:

$\angle ABC = 2 \cdot 28^{\circ} = 56^{\circ}$.

Мы нашли один из острых углов треугольника $ABC$. Второй острый угол, $\angle BAC$, найдем из свойства прямоугольного треугольника $ABC$, согласно которому сумма его острых углов равна $90^{\circ}$:

$\angle BAC + \angle ABC = 90^{\circ}$.

$\angle BAC = 90^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ} - 56^{\circ} = 34^{\circ}$.

Ответ: острые углы треугольника $ABC$ равны $34^{\circ}$ и $56^{\circ}$.