Номер 119, страница 20 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Один из углов треугольника равен 100°. Высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, образуют угол, равный 20°. Найдите неизвестные углы треугольника.

119. Один из углов треугольника равен $100^\circ$. Высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, образуют угол, равный $20^\circ$. Найдите неизвестные углы треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ угол $\angle B = 100°$. Из вершины $B$ проведены высота $BH$ и биссектриса $BL$. По условию, угол между ними $\angle HBL = 20°$. Требуется найти два других угла треугольника, $\angle A$ и $\angle C$.

1. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Следовательно, сумма двух неизвестных углов составляет:

$\angle A + \angle C = 180° - 100° = 80°$.

2. Биссектриса $BL$ делит угол $\angle B$ на два равных угла:

$\angle ABL = \angle LBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{100°}{2} = 50°$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$, образованный высотой $BH$ ($\angle AHB = 90°$). Сумма острых углов в нём равна $90°$, поэтому угол $\angle ABH$ можно выразить через $\angle A$:

$\angle ABH = 90° - \angle A$.

4. Угол между биссектрисой $BL$ и высотой $BH$ ($\angle HBL$) можно представить как модуль разности углов $\angle ABL$ и $\angle ABH$, так как мы заранее не знаем их взаимного расположения:

$\angle HBL = |\angle ABL - \angle ABH|$

5. Подставим известные и выраженные значения в это уравнение, чтобы найти $\angle A$:

$20° = |50° - (90° - \angle A)|$

$20° = |50° - 90° + \angle A|$

$20° = |\angle A - 40°|$

6. Уравнение с модулем имеет два возможных решения:

• $\angle A - 40° = 20° \implies \angle A = 60°$
• $\angle A - 40° = -20° \implies \angle A = 20°$

7. Для каждого найденного значения $\angle A$ найдем соответствующий угол $\angle C$ из соотношения $\angle A + \angle C = 80°$:

• Если $\angle A = 60°$, то $\angle C = 80° - 60° = 20°$.
• Если $\angle A = 20°$, то $\angle C = 80° - 20° = 60°$.

В обоих случаях, пара неизвестных углов треугольника — это $20°$ и $60°$.

Ответ: $20°$ и $60°$.