Номер 127, страница 21 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. Существует ли треугольник $ABC$, в котором $\angle A = 100^\circ$, $AB = 9 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$?

127. Существует ли треугольник $ABC$, в котором $\angle A = 100^{\circ}$, $AB = 9$ см, $BC = 4$ см?

Для того чтобы определить, существует ли треугольник с заданными параметрами, можно воспользоваться свойством соотношения сторон и углов в треугольнике или теоремой синусов.

Способ 1: Соотношение сторон и углов в треугольнике

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот, против большей стороны лежит больший угол.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ даны:

• $∠A = 100°$
• $AB = 9$ см
• $BC = 4$ см

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Следовательно, $∠A + ∠B + ∠C = 180°$.

Поскольку $∠A = 100°$, то сумма двух других углов составляет $∠B + ∠C = 180° - 100° = 80°$.

Так как углы $∠B$ и $∠C$ должны быть положительными, каждый из них строго меньше $80°$. Это означает, что оба угла, $∠B$ и $∠C$, меньше угла $∠A$.

Таким образом, угол $∠A$ является наибольшим углом в треугольнике $ABC$.

Согласно свойству о соотношении сторон и углов, сторона, лежащая напротив наибольшего угла, должна быть наибольшей стороной треугольника. Сторона, лежащая напротив угла $∠A$, — это сторона $BC$.

Следовательно, для существования такого треугольника должно выполняться неравенство $BC > AB$ и $BC > AC$.

Однако, по условию задачи, $BC = 4$ см, а $AB = 9$ см. Мы видим, что $BC < AB$ ($4$ см $< 9$ см). Это противоречит свойству треугольника, согласно которому напротив большего угла должна лежать большая сторона.

Значит, треугольник с заданными параметрами существовать не может.

Способ 2: Использование теоремы синусов

Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

В нашем случае, сторона $BC$ лежит напротив угла $A$, а сторона $AB$ лежит напротив угла $C$.

Подставим известные значения в формулу: $BC = 4$ см, $AB = 9$ см, $∠A = 100°$.

$\frac{BC}{\sin ∠A} = \frac{AB}{\sin ∠C}$

$\frac{4}{\sin 100°} = \frac{9}{\sin ∠C}$

Выразим из этого равенства $\sin ∠C$:

$\sin ∠C = \frac{9 \cdot \sin 100°}{4}$

Значение $\sin 100°$ равно $\sin(180° - 80°) = \sin 80° \approx 0.9848$.

$\sin ∠C \approx \frac{9 \cdot 0.9848}{4} = \frac{8.8632}{4} \approx 2.2158$

Область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого угла $C$ должно выполняться условие $-1 \le \sin ∠C \le 1$.

Полученное нами значение $\sin ∠C \approx 2.2158$ выходит за пределы этой области, так как $2.2158 > 1$. Это невозможно.

Следовательно, не существует такого угла $C$, при котором выполнялась бы теорема синусов для заданных сторон и угла.

Ответ: Нет, такой треугольник не существует.