Номер 111, страница 20 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Один из углов треугольника равен $82^\circ$. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным: 1) $80^\circ$; 2) $83^\circ$?

111. Один из углов треугольника равен $82^\circ$. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным:

1) $80^\circ$;

2) $83^\circ$?

По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Также внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Пусть один из углов треугольника равен $ \alpha = 82^\circ $. Внешний угол, не смежный с ним, должен быть больше этого угла, то есть больше $ 82^\circ $.

1) Может ли внешний угол быть равен $ 80^\circ $?
Проверим условие: внешний угол должен быть больше не смежного с ним внутреннего угла.
$ 80^\circ > 82^\circ $ — это неверное неравенство.
Следовательно, внешний угол треугольника, не смежный с углом в $ 82^\circ $, не может быть равен $ 80^\circ $.
Ответ: не может.

2) Может ли внешний угол быть равен $ 83^\circ $?
Проверим условие: внешний угол должен быть больше не смежного с ним внутреннего угла.
$ 83^\circ > 82^\circ $ — это верное неравенство. Значит, такой треугольник может существовать.
Докажем это. Пусть углы треугольника равны $ \alpha, \beta, \gamma $, где $ \alpha = 82^\circ $. Пусть внешний угол при вершине с углом $ \beta $ равен $ 83^\circ $.
По теореме о внешнем угле:
$ \alpha + \gamma = 83^\circ $
$ 82^\circ + \gamma = 83^\circ $
$ \gamma = 83^\circ - 82^\circ = 1^\circ $
Сумма углов треугольника равна $ 180^\circ $, поэтому:
$ \beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma) = 180^\circ - (82^\circ + 1^\circ) = 180^\circ - 83^\circ = 97^\circ $
Мы получили треугольник с углами $ 82^\circ, 97^\circ, 1^\circ $. Такой треугольник существует, и внешний угол, не смежный с углом $ 82^\circ $, в нем действительно равен $ 83^\circ $.
Ответ: может.