Номер 107, страница 19 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. Найдите на рисунке 52 неизвестные углы равнобедренного треугольника ABC ($AB = AC$).

Рис. 52

а

$38^\circ$

$AB = AC$

б

$36^\circ$

$AC = BC$

107. Найдите на рисунке 52 неизвестные углы равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = AC$).

Рис. 52

В треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) внешний угол при вершине $A$ — $38^\circ$.

В треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) угол $\angle A$ — $36^\circ$.

В обоих случаях треугольник $ABC$ является равнобедренным с боковыми сторонами $AB$ и $AC$ ($AB = AC$), следовательно, углы при основании $BC$ равны: $\angle ABC = \angle ACB$.

На рисунке показан внешний угол треугольника при вершине $A$, равный $38^\circ$. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае, внешний угол при вершине $A$ равен сумме углов $\angle ABC$ и $\angle ACB$.

Составим уравнение, используя свойство внешнего угла и равенство углов при основании:

$\angle ABC + \angle ACB = 38^\circ$

$2 \cdot \angle ACB = 38^\circ$

Отсюда находим углы при основании:

$\angle ABC = \angle ACB = \frac{38^\circ}{2} = 19^\circ$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла, найдем третий угол при вершине $A$:

$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (19^\circ + 19^\circ) = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$

Ответ: $\angle BAC = 142^\circ$, $\angle ABC = 19^\circ$, $\angle ACB = 19^\circ$.

На рисунке показан угол, равный $36^\circ$. Этот угол является внешним при вершине $A$, так как он образован стороной $AC$ и продолжением стороны $BA$ за вершину $A$.

По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Таким образом, внешний угол при вершине $A$ равен сумме углов $\angle ABC$ и $\angle ACB$.

Запишем уравнение:

$\angle ABC + \angle ACB = 36^\circ$

Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, то $\angle ABC = \angle ACB$. Подставим это в уравнение:

$2 \cdot \angle ABC = 36^\circ$

Вычислим углы при основании:

$\angle ABC = \angle ACB = \frac{36^\circ}{2} = 18^\circ$

Теперь найдем угол при вершине $A$, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (18^\circ + 18^\circ) = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$

Ответ: $\angle BAC = 144^\circ$, $\angle ABC = 18^\circ$, $\angle ACB = 18^\circ$.