Номер 101, страница 18 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. На стороне $BA$ угла $ABC$ отметили точку $D$ и через неё провели прямую, параллельную стороне $BC$. Эта прямая пересекла биссектрису угла $ABC$ в точке $E$. Найдите углы $DBE$ и $BDE$, если $\angle DEB = 25^\circ$.

101. На стороне $BA$ угла $ABC$ отметили точку $D$ и через неё провели прямую, параллельную стороне $BC$. Эта прямая пересекла биссектрису угла $ABC$ в точке $E$. Найдите углы $DBE$ и $BDE$, если $\angle DEB = 25^{\circ}$.

По условию задачи, через точку $D$ на стороне $BA$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$. Эта прямая пересекает биссектрису угла $\angle ABC$ в точке $E$. Таким образом, мы имеем две параллельные прямые, $DE$ и $BC$, и секущую $BE$, которая их пересекает.

Углы $\angle DEB$ и $\angle EBC$ являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $DE$ и $BC$ и секущей $BE$. Следовательно, эти углы равны:$\angle EBC = \angle DEB$.

Так как по условию дано, что $\angle DEB = 25^{\circ}$, то и $\angle EBC = 25^{\circ}$.

Угол DBE

По условию, луч $BE$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла, то есть $\angle ABE = \angle EBC$.

Точка $D$ лежит на стороне $BA$, поэтому угол $\angle ABE$ — это тот же самый угол, что и $\angle DBE$.Следовательно, $\angle DBE = \angle EBC$.

Поскольку мы нашли, что $\angle EBC = 25^{\circ}$, то и $\angle DBE = 25^{\circ}$.

Ответ: $\angle DBE = 25^{\circ}$.

Угол BDE

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BDE$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для $\triangle BDE$ это записывается как:$\angle BDE + \angle DBE + \angle DEB = 180^{\circ}$.

Нам известны два угла в этом треугольнике: $\angle DBE = 25^{\circ}$ (найдено выше) и $\angle DEB = 25^{\circ}$ (дано в условии). Подставим их значения в уравнение:
$\angle BDE + 25^{\circ} + 25^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BDE + 50^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BDE = 180^{\circ} - 50^{\circ}$
$\angle BDE = 130^{\circ}$

Ответ: $\angle BDE = 130^{\circ}$.