Номер 102, страница 18 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. На рисунке 49 биссектрисы углов $BAC$ и $ACD$ пересекают прямую $BD$ в точках $E$ и $F$. Докажите, что если

$CD = DF$, то $AB = BE$.

102. На рисунке 49 биссектрисы углов $\text{BAC}$ и $\text{ACD}$ пересекают прямую $\text{BD}$ в точках $\text{E}$ и $\text{F}$. Докажите, что если $\text{CD} = \text{DF}$, то $\text{AB} = \text{BE}$.

Рис. 49

Рассмотрим треугольник $CDF$. По условию задачи дано, что $CD = DF$. Это означает, что треугольник $CDF$ является равнобедренным с основанием $CF$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle DFC = \angle FCD$.

Также по условию $CF$ является биссектрисой угла $ACD$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, то есть $\angle ACF = \angle FCD$.

Из двух вышеуказанных равенств ($\angle DFC = \angle FCD$ и $\angle ACF = \angle FCD$) следует, что $\angle DFC = \angle ACF$.

Углы $\angle DFC$ и $\angle ACF$ являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых $AC$ и $BD$ секущей $CF$. Так как мы доказали, что эти углы равны, то по признаку параллельности прямых можно утверждать, что прямая $AC$ параллельна прямой $BD$ ($AC \parallel BD$).

Теперь, зная, что $AC \parallel BD$, рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $AE$. Углы $\angle EAC$ и $\angle BEA$ являются внутренними накрест лежащими, а следовательно, они равны: $\angle EAC = \angle BEA$.

По условию задачи $AE$ является биссектрисой угла $BAC$. Это означает, что $\angle BAE = \angle EAC$.

Сопоставляя два последних равенства ($\angle EAC = \angle BEA$ и $\angle BAE = \angle EAC$), получаем, что $\angle BAE = \angle BEA$.

Рассмотрим треугольник $ABE$. Поскольку в этом треугольнике два угла равны ($\angle BAE = \angle BEA$), он является равнобедренным с основанием $AE$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AB = BE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.