Номер 95, страница 17 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

95. На рисунке 45 $AB = BC$, $A_1B_1 = B_1C_1$, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. Докажите, что прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны.

Рис. 45

95. На рисунке 45 $AB = BC$, $A_1B_1 = B_1C_1$, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. Докажите, что прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны.

Рис. 45

Дано:

$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$

$AB = BC$

$A_1B_1 = B_1C_1$

$\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$

Доказать:

$BC \parallel B_1C_1$

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. По условию $AB = BC$, следовательно, $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle BAC = \angle BCA$.

2. Рассмотрим $\triangle A_1B_1C_1$. По условию $A_1B_1 = B_1C_1$, следовательно, $\triangle A_1B_1C_1$ является равнобедренным с основанием $A_1C_1$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1$.

3. Из условия задачи мы знаем, что $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. Используя равенства, полученные в пунктах 1 и 2, мы можем составить следующую цепочку равенств:

$\angle BCA = \angle BAC$ (из равнобедренного $\triangle ABC$)

$\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (по условию)

$\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1$ (из равнобедренного $\triangle A_1B_1C_1$)

Из этой цепочки следует, что $\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$.

4. Углы $\angle BCA$ и $\angle B_1C_1A_1$ являются соответственными углами при пересечении прямых $BC$ и $B_1C_1$ секущей $AC_1$.

Поскольку соответственные углы равны ($\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$), то по признаку параллельности прямых, прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $BC$ и $B_1C_1$ доказана.