Номер 88, страница 15 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. На рисунке 38 $BC = AD$, $AM = CN$, $BM = DN$. Найдите $\angle ABM$, если $\angle CDN = 31^\circ$.

Рис. 38

88. На рисунке 38 $BC = AD, AM = CN, BM = DN$. Найдите $\angle ABM$, если $\angle CDN = 31^\circ$.

Рис. 38

Рассмотрим треугольники $ \triangle DNA $ и $ \triangle BMC $. По условию задачи нам дано, что $ AD = BC $ и $ DN = BM $. Из рисунка видно, что точки A, M, N, C лежат на одной прямой. Длину отрезка AN можно представить как $ AN = AM + MN $, а длину отрезка MC — как $ MC = MN + NC $. Поскольку по условию $ AM = CN $, то можно заключить, что $ AN = MC $.

Таким образом, в треугольниках $ \triangle DNA $ и $ \triangle BMC $ три стороны соответственно равны:

1. $ AD = BC $ (по условию)

2. $ DN = BM $ (по условию)

3. $ AN = MC $ (как доказано выше)

Следовательно, $ \triangle DNA \cong \triangle BMC $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $ \angle DAN = \angle BCM $, что то же самое, что $ \angle DAC = \angle BCA $.

Углы $ \angle DAC $ и $ \angle BCA $ являются накрест лежащими при пересечении прямых AD и BC секущей AC. Так как эти углы равны, то прямые AD и BC параллельны ($ AD \parallel BC $).

Рассмотрим четырехугольник ABCD. В нем противоположные стороны AD и BC равны ($ AD = BC $ по условию) и параллельны ($ AD \parallel BC $ как было доказано). Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, значит, $ AB = CD $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle CDN $. В них:

1. $ AB = CD $ (как противоположные стороны параллелограмма)

2. $ AM = CN $ (по условию)

3. $ BM = DN $ (по условию)

Таким образом, $ \triangle ABM \cong \triangle CDN $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов: $ \angle ABM = \angle CDN $.

По условию $ \angle CDN = 31^\circ $, следовательно, $ \angle ABM = 31^\circ $.

Ответ: $31^\circ$.