Номер 81, страница 14 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. На медиане $BM$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ отметили точку $O$. Докажите, что треугольник $AOC$ равнобедренный.

81. На медиане $BM$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ отметили точку $O$. Докажите, что треугольник $AOC$ равнобедренный.

По условию, в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена медиана $BM$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также его высотой и биссектрисой.

Поскольку $BM$ является высотой, то $BM \perp AC$. Это означает, что углы $\angle BMA$ и $\angle BMC$ прямые, то есть равны $90^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COM$. Точка $O$ по условию лежит на медиане $BM$.

Для этих треугольников можно выделить следующие равные элементы:

1. $AM = MC$, так как $BM$ — медиана и делит сторону $AC$ пополам.

2. $\angle AMO = \angle CMO = 90^\circ$, поскольку $BM \perp AC$ и точка $O$ лежит на $BM$.

3. $OM$ — общая сторона.

Таким образом, треугольник $\triangle AOM$ равен треугольнику $\triangle COM$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $AO$ треугольника $\triangle AOM$ равна соответствующей стороне $CO$ треугольника $\triangle COM$. Следовательно, $AO = CO$.

Так как в треугольнике $AOC$ две стороны ($AO$ и $CO$) равны, то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $AOC$ является равнобедренным.