Номер 78, страница 14 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. В равнобедренном треугольнике $DFE$ на боковых сторонах $DF$ и $EF$ соответственно отметили точки $M$ и $K$ так, что $FM = FK$. Докажите, что $\angle DME = \angle DKE$.

78. В равнобедренном треугольнике $DFE$ на боковых сторонах $DF$ и $EF$ соответственно отметили точки $M$ и $K$ так, что $FM = FK$. Докажите, что $\angle DME = \angle DKE$.

Дано:

$\triangle DFE$ — равнобедренный,
$DF$ и $EF$ — боковые стороны, следовательно $DF = EF$,
$M \in DF$, $K \in EF$,
$FM = FK$.

Доказать:

$\angle DME = \angle DKE$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle DME$ и $\triangle DKE$.

1. Сторона $DE$ является общей для этих треугольников.

2. Так как по условию $\triangle DFE$ — равнобедренный с основанием $DE$, то углы при основании равны: $\angle FDE = \angle FED$. Поскольку точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $DF$ и $EF$ соответственно, то углы $\angle MDE$ и $\angle KED$ совпадают с углами $\angle FDE$ и $\angle FED$. Таким образом, $\angle MDE = \angle KED$.

3. Длина отрезка $DM$ равна разности длин отрезков $DF$ и $MF$, то есть $DM = DF - MF$. Аналогично, длина отрезка $EK$ равна разности длин отрезков $EF$ и $KF$, то есть $EK = EF - KF$.

Из условия задачи известно, что $DF = EF$ и $FM = FK$. Следовательно, вычитая из равных отрезков равные, получаем:

$DM = DF - MF = EF - FK = EK$.

4. Таким образом, для треугольников $\triangle DME$ и $\triangle DKE$ мы установили, что:

$DM = EK$ (доказано в п. 3),
$\angle MDE = \angle KED$ (доказано в п. 2),
$DE$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle DME \cong \triangle DKE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. В $\triangle DME$ и $\triangle DKE$ сторона $DE$ общая, значит, противолежащие ей углы равны: $\angle DME = \angle DKE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle DME = \angle DKE$ доказано.