Номер 79, страница 14 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по медиане, проведённой к основанию, и углу при вершине.

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по медиане, проведённой к основанию, и углу при вершине.

Пусть даны два равнобедренных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ с основаниями $ AC $ и $ A_1C_1 $ соответственно. Пусть $ BM $ и $ B_1M_1 $ — медианы, проведённые к основаниям.

Согласно условию задачи, медианы равны ($ BM = B_1M_1 $) и углы при вершине, противолежащей основанию, равны ($ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $).

Требуется доказать, что $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является одновременно высотой и биссектрисой.

Рассмотрим $ \triangle ABC $. Так как $ BM $ — медиана к основанию, то $ BM $ также является биссектрисой угла $ \angle ABC $ и высотой. Следовательно, $ \angle ABM = \frac{1}{2}\angle ABC $ и $ \angle BMA = 90^\circ $.

Аналогично для $ \triangle A_1B_1C_1 $: медиана $ B_1M_1 $ является биссектрисой угла $ \angle A_1B_1C_1 $ и высотой. Следовательно, $ \angle A_1B_1M_1 = \frac{1}{2}\angle A_1B_1C_1 $ и $ \angle B_1M_1A_1 = 90^\circ $.

Поскольку по условию $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $, то равны и половины этих углов: $ \angle ABM = \angle A_1B_1M_1 $.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $. Они равны по катету и прилежащему острому углу, так как катет $ BM $ равен катету $ B_1M_1 $ (по условию) и прилежащий острый угол $ \angle ABM $ равен прилежащему острому углу $ \angle A_1B_1M_1 $ (как доказано выше).

Из равенства треугольников $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $ следует равенство их соответствующих сторон, в частности, гипотенуз: $ AB = A_1B_1 $.

Рассмотрим исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Они равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), так как:
1. $ AB = A_1B_1 $ (доказано выше).
2. $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $ (по условию).
3. $ BC = AB $ и $ B_1C_1 = A_1B_1 $ (так как треугольники равнобедренные). Следовательно, $ BC = B_1C_1 $.

Таким образом, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников доказано.