Номер 86, страница 15 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. На сторонах $BC$ и $B_1C_1$ треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $D$ и $D_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$, $AD = A_1D_1$, $CD = C_1D_1$.

86. На сторонах $BC$ и $B_1C_1$ треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $D$ и $D_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$, $AD = A_1D_1$, $CD = C_1D_1$.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $A_1B_1D_1$. По условию задачи имеем три пары равных сторон: $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$ и $AD = A_1D_1$. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle B = \angle B_1$.

Теперь найдём длины сторон $BC$ и $B_1C_1$. Так как точка $D$ лежит на стороне $BC$, то длина стороны $BC$ является суммой длин отрезков $BD$ и $CD$, то есть $BC = BD + CD$. Аналогично, так как точка $D_1$ лежит на стороне $B_1C_1$, то $B_1C_1 = B_1D_1 + C_1D_1$.

Из условия задачи нам известно, что $BD = B_1D_1$ и $CD = C_1D_1$. Сложив эти два равенства, получим: $BD + CD = B_1D_1 + C_1D_1$. Отсюда следует, что $BC = B_1C_1$.

Теперь сравним треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Мы установили, что:

1. $AB = A_1B_1$ (по условию).
2. $BC = B_1C_1$ (доказано выше).
3. $\angle B = \angle B_1$ (доказано выше).

Таким образом, треугольник $ABC$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано.