Номер 90, страница 16 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. На рисунке 40 $AB = BC$, $AD = DC$, $\angle MKF = \angle PKF$, $\angle KMF = \angle KPF$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 40

90. На рисунке 40 $AB = BC, AD = DC, \angle MKF = \angle PKF, \angle KMF = \angle KPF$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 40

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

2. Также по условию, $AD = DC$. Это значит, что точка $D$ является серединой основания $AC$. Отрезок $BD$, соединяющий вершину $B$ с серединой основания $D$, является медианой треугольника $ABC$.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BD \perp AC$. Прямая $a$ проходит через отрезок $BD$, значит, прямая $a$ перпендикулярна прямой, на которой лежит отрезок $AC$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $MKP$. По условию, $\angle KMF = \angle KPF$. Поскольку точки $M$, $F$, $P$ лежат на одной прямой, то $\angle KMF$ это тот же угол, что и $\angle KMP$, а $\angle KPF$ — тот же, что и $\angle KPM$. Таким образом, $\angle KMP = \angle KPM$.

5. Если в треугольнике углы при основании равны, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $MKP$ — равнобедренный с основанием $MP$.

6. По условию, $\angle MKF = \angle PKF$. Это означает, что отрезок $KF$ является биссектрисой угла $MKP$.

7. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также и высотой. Следовательно, $KF \perp MP$. Прямая $b$ проходит через отрезок $KF$, значит, прямая $b$ перпендикулярна прямой, на которой лежит отрезок $MP$.

8. Отрезки $AC$ и $MP$ лежат на одной и той же прямой. Мы доказали, что прямая $a \perp AC$ и прямая $b \perp MP$. Таким образом, обе прямые $a$ и $b$ перпендикулярны одной и той же третьей прямой.

9. Согласно свойству параллельных прямых, если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $a \parallel b$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны одной и той же прямой, а значит, они параллельны.