Номер 84, страница 15 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 2 : 1$. Биссектриса $BD$ перпендикулярна отрезку $AM$. Найдите $BC$, если известно, что $AB = 6$ см.

84. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 2 : 1$. Биссектриса $BD$ перпендикулярна отрезку $AM$. Найдите $BC$, если известно, что $AB = 6$ см.

Пусть биссектриса $BD$ и отрезок $AM$ пересекаются в точке $K$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. По условию, $BD$ — биссектриса угла $ABC$, значит, отрезок $BK$ является биссектрисой угла $ABM$. Также по условию $BD \perp AM$, следовательно, $BK$ является высотой треугольника $ABM$, опущенной на сторону $AM$.

В треугольнике $ABM$ отрезок $BK$ является одновременно и биссектрисой, и высотой. Треугольник, в котором биссектриса совпадает с высотой, проведенной из той же вершины, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABM$ — равнобедренный, и его боковые стороны, прилегающие к вершине $B$, равны: $AB = BM$.

Из условия задачи известно, что $AB = 6$ см. Поскольку $AB = BM$, то $BM = 6$ см.

По условию, точка $M$ делит сторону $BC$ в отношении $BM : MC = 2 : 1$. Подставим найденное значение $BM$:
$6 : MC = 2 : 1$

Из этой пропорции находим длину отрезка $MC$:
$2 \cdot MC = 6 \cdot 1$
$MC = \frac{6}{2} = 3$ см.

Сторона $BC$ состоит из отрезков $BM$ и $MC$. Найдем ее длину:
$BC = BM + MC = 6 \text{ см} + 3 \text{ см} = 9 \text{ см}.$

Ответ: 9 см.