Номер 82, страница 15 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. На высоте $BD$ треугольника $ABC$ отметили точку $E$. Докажите, что если $AE = EC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

82. На высоте $BD$ треугольника $ABC$ отметили точку $E$. Докажите, что если $AE = EC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

Поскольку $BD$ является высотой треугольника $ABC$, то $BD \perp AC$. Это означает, что треугольники $ABD$ и $CBD$ являются прямоугольными. Так как точка $E$ лежит на отрезке $BD$, то $ED \perp AC$, и, следовательно, треугольники $AED$ и $CED$ также являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $AED$ и $CED$.

• Гипотенуза $AE$ равна гипотенузе $EC$ по условию ($AE = EC$).
• Катет $ED$ является общим для обоих треугольников.

Следовательно, прямоугольные треугольники $AED$ и $CED$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно катетов $AD$ и $DC$:

$AD = DC$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $ABD$ и $CBD$.

• Катет $AD$ равен катету $DC$ (как было доказано выше).
• Катет $BD$ является общим.

Следовательно, прямоугольные треугольники $ABD$ и $CBD$ равны по двум катетам.

Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = BC$.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.