Номер 80, страница 14 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

80. На рисунке 34 $ \angle 1 = \angle 2 $. Докажите, что $ AB = BC $.

80. На рисунке 34 $ \angle 1 = \angle 2 $. Докажите, что $ AB = BC $.

Рис. 34

Рассмотрим углы, показанные на рисунке. Угол $∠1$ и угол $∠BAC$ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол. Сумма смежных углов равна $180°$. Таким образом, мы можем выразить величину угла $∠BAC$ через $∠1$:

$∠BAC = 180° - ∠1$

Аналогично, угол $∠2$ и угол $∠BCA$ также являются смежными. Следовательно, их сумма равна $180°$, и мы можем выразить $∠BCA$ через $∠2$:

$∠BCA = 180° - ∠2$

По условию задачи нам дано, что $∠1 = ∠2$.

Если равны величины $∠1$ и $∠2$, то равны и разности $180° - ∠1$ и $180° - ∠2$. Из этого следует, что внутренние углы треугольника при основании $AC$ равны:

$∠BAC = ∠BCA$

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. В этом треугольнике два угла ($∠BAC$ и $∠BCA$) равны. Согласно свойству равнобедренного треугольника (а точнее, его признаку), если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ стороны, противолежащие равным углам, равны. Сторона $BC$ лежит напротив угла $∠BAC$, а сторона $AB$ — напротив угла $∠BCA$. Так как $∠BAC = ∠BCA$, то и противолежащие им стороны равны: $AB = BC$.

Таким образом, мы доказали, что $AB = BC$.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку внешние углы $∠1$ и $∠2$ равны по условию, то смежные с ними внутренние углы треугольника $∠BAC$ и $∠BCA$ также равны. Треугольник $ABC$, в котором углы при основании $AC$ равны, является равнобедренным, и, следовательно, его боковые стороны $AB$ и $BC$ равны.