Номер 100, страница 18 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. На рисунке 48 прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Докажите, что биссектрисы углов $\angle EKB$ и $\angle EPD$ параллельны.

Рис. 48

100. На рисунке 48 прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Докажите, что биссектрисы углов $EKB$ и $EPD$ параллельны.

Рис. 48

Доказательство

По условию задачи, прямые AB и CD параллельны ($AB \parallel CD$), а прямая, проходящая через точки E, K, P, является для них секущей.

Углы $\angle EKB$ и $\angle EPD$ являются соответственными углами, образованными при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей EP. По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны. Следовательно, $\angle EKB = \angle EPD$.

Проведем биссектрису KM угла $\angle EKB$ и биссектрису PN угла $\angle EPD$. По определению биссектрисы, она делит угол на две равные части:

$\angle EKM = \frac{1}{2} \angle EKB$

$\angle EPN = \frac{1}{2} \angle EPD$

Так как $\angle EKB = \angle EPD$, то и половины этих углов равны между собой:

$\frac{1}{2} \angle EKB = \frac{1}{2} \angle EPD$

Из этого следует, что $\angle EKM = \angle EPN$.

Теперь рассмотрим прямые, содержащие биссектрисы KM и PN, и ту же секущую EP. Углы $\angle EKM$ и $\angle EPN$ являются соответственными для прямых KM и PN. Поскольку эти соответственные углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые KM и PN параллельны ($KM \parallel PN$).

Таким образом, доказано, что биссектрисы углов EKB и EPD параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку прямые AB и CD параллельны, соответственные углы $\angle EKB$ и $\angle EPD$ равны. Биссектрисы этих углов образуют с секущей новые соответственные углы, которые равны половинам исходных углов и, следовательно, равны между собой. На основании признака параллельности прямых (равенство соответственных углов) следует, что биссектрисы параллельны.