Номер 106, страница 19 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Найдите на рисунке 51 неизвестные углы треугольника ABC.

Рис. 51

а

Внешний угол при вершине B: $136^\circ$, $\angle A = 23^\circ$.

б

Внешний угол при вершине B: $114^\circ$, $\angle C = 38^\circ$.

в

Внешний угол при вершине A: $147^\circ$, внешний угол при вершине B: $94^\circ$.

106. Найдите на рисунке 51 неизвестные углы треугольника ABC.

Рис. 51

a

$136^\circ$ B, $23^\circ$ A, C

б

B $114^\circ$, $38^\circ$ C, A

в

$94^\circ$ B, $147^\circ$ A, C

а

В треугольнике $ABC$ дан угол $\angle A = 23^\circ$ и внешний угол при вершине $B$, равный $136^\circ$. Необходимо найти неизвестные углы треугольника: $\angle ABC$ и $\angle ACB$.

1. Внутренний угол треугольника при вершине $B$ (угол $\angle ABC$) и данный внешний угол являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Следовательно, мы можем найти $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$.

2. Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Зная два угла ($\angle A$ и $\angle B$), мы можем найти третий угол, $\angle C$ ($\angle ACB$):

$\angle ACB = 180^\circ - (\angle CAB + \angle ABC)$

$\angle ACB = 180^\circ - (23^\circ + 44^\circ) = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$.

Ответ: $\angle ABC = 44^\circ, \angle ACB = 113^\circ$.

б

В треугольнике $ABC$ дан угол $\angle C = 38^\circ$ и внешний угол при вершине $B$, равный $114^\circ$. Требуется найти углы $\angle ABC$ и $\angle BAC$.

1. Внутренний угол $\angle ABC$ является смежным с внешним углом при вершине $B$. Их сумма составляет $180^\circ$.

$\angle ABC = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$.

2. Теперь, зная два угла треугольника ($\angle B$ и $\angle C$), найдем третий угол $\angle A$ ($\angle BAC$), используя теорему о сумме углов треугольника:

$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB)$

$\angle BAC = 180^\circ - (66^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$.

Также можно было использовать свойство внешнего угла треугольника: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

$114^\circ = \angle BAC + \angle ACB$

$\angle BAC = 114^\circ - 38^\circ = 76^\circ$.

Ответ: $\angle ABC = 66^\circ, \angle BAC = 76^\circ$.

в

В треугольнике $ABC$ даны два внешних угла: при вершине $A$ равный $147^\circ$ и при вершине $B$ равный $94^\circ$. Найдем все три внутренних угла треугольника: $\angle BAC$, $\angle ABC$ и $\angle ACB$.

1. Внутренний угол $\angle BAC$ и внешний угол при вершине $A$ — смежные. Найдем $\angle BAC$:

$\angle BAC = 180^\circ - 147^\circ = 33^\circ$.

2. Аналогично, внутренний угол $\angle ABC$ и внешний угол при вершине $B$ являются смежными. Найдем $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - 94^\circ = 86^\circ$.

3. Зная два внутренних угла, найдем третий угол $\angle ACB$ из теоремы о сумме углов треугольника:

$\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC)$

$\angle ACB = 180^\circ - (33^\circ + 86^\circ) = 180^\circ - 119^\circ = 61^\circ$.

Ответ: $\angle BAC = 33^\circ, \angle ABC = 86^\circ, \angle ACB = 61^\circ$.