Номер 108, страница 19 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Найдите углы треугольника DEF, если $\angle D + \angle E = 70^{\circ}$, $\angle E + \angle F = 150^{\circ}$.

108. Найдите углы треугольника DEF, если $\angle D + \angle E = 70^{\circ}$, $\angle E + \angle F = 150^{\circ}$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $DEF$ это означает, что $\angle D + \angle E + \angle F = 180^\circ$.

По условию задачи нам даны два равенства:

1) $\angle D + \angle E = 70^\circ$

2) $\angle E + \angle F = 150^\circ$

Мы можем использовать эти данные для последовательного нахождения всех углов треугольника.

Нахождение угла F

Возьмём основное свойство суммы углов треугольника $\angle D + \angle E + \angle F = 180^\circ$. Мы можем заменить сумму $(\angle D + \angle E)$ на известное нам значение из первого условия, то есть на $70^\circ$.

$(\angle D + \angle E) + \angle F = 180^\circ$

$70^\circ + \angle F = 180^\circ$

Теперь найдём $\angle F$:

$\angle F = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

Нахождение угла E

Теперь, когда мы знаем величину угла $F$, мы можем использовать второе условие задачи ($\angle E + \angle F = 150^\circ$) для нахождения угла $E$. Подставим в это равенство найденное значение $\angle F = 110^\circ$.

$\angle E + 110^\circ = 150^\circ$

Найдём $\angle E$:

$\angle E = 150^\circ - 110^\circ = 40^\circ$

Нахождение угла D

Зная величину угла $E$, мы можем использовать первое условие задачи ($\angle D + \angle E = 70^\circ$) для нахождения угла $D$. Подставим в это равенство найденное значение $\angle E = 40^\circ$.

$\angle D + 40^\circ = 70^\circ$

Найдём $\angle D$:

$\angle D = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ$

Проверим, выполняется ли равенство суммы углов 180°:

$\angle D + \angle E + \angle F = 30^\circ + 40^\circ + 110^\circ = 180^\circ$

Равенство выполняется, следовательно, углы найдены верно.

Ответ: $\angle D = 30^\circ, \angle E = 40^\circ, \angle F = 110^\circ$.