Номер 181, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

181. Постройте треугольник $ABC$ по стороне $AC$, медиане $BM$ и углу $BMC$.

181. Постройте треугольник $ABC$ по стороне $AC$, медиане $BM$ и углу $BMC$.

Задача на построение треугольника $ABC$ по стороне $AC$, медиане $BM$ и углу $BMC$ решается методом построения вспомогательного треугольника.

Анализ и план построения

По определению, медиана $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой $M$ стороны $AC$. Следовательно, точка $M$ делит отрезок $AC$ на два равных отрезка: $AM = MC = \frac{1}{2}AC$. Так как длина стороны $AC$ нам известна, мы можем легко найти длину отрезка $MC$ и построить его.

Теперь рассмотрим треугольник $BMC$. В этом треугольнике нам известны два элемента: длина стороны $BM$ (заданная медиана) и величина угла $\angle BMC$ (заданный угол). Третьим известным элементом является сторона $MC$, длина которой, как мы выяснили, равна половине длины $AC$. Таким образом, мы можем построить треугольник $BMC$ по двум сторонам ($BM$ и $MC$) и углу между ними ($\angle BMC$).

После построения треугольника $BMC$ мы определим положение вершин $B$, $C$ и точки $M$. Так как $M$ является серединой стороны $AC$, вершина $A$ должна лежать на прямой $CM$ на таком же расстоянии от $M$, что и точка $C$, но с другой стороны. Построив точку $A$, мы сможем завершить построение искомого треугольника $ABC$.

Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки в следующей последовательности. Сначала строим отрезок $AC$ заданной длины. Затем находим его середину $M$, построив серединный перпендикуляр к $AC$. Далее от луча $MC$ откладываем угол, равный заданному углу $\angle BMC$, и на его стороне строим луч $MK$. На луче $MK$ откладываем отрезок $MB$, равный по длине заданной медиане. Наконец, соединяем точку $B$ с точками $A$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ имеет заданную длину по построению. Отрезок $BM$ является медианой, так как точка $M$ по построению является серединой стороны $AC$. Длина самой медианы $BM$ и величина угла $\angle BMC$ также равны заданным величинам по построению. Следовательно, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Задача имеет единственное решение, если заданные длины $AC > 0$, $BM > 0$ и угол $\angle BMC$ находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Ответ: Построение треугольника возможно и единственно при заданных условиях; алгоритм построения описан выше.