Номер 184, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. Прямая $l$ пересекает стороны угла $ABC$. Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии 2 см от прямой $l$. Сколько решений может иметь задача?

184. Прямая $l$ пересекает стороны угла $ABC$. Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии 2 см от прямой $l$. Сколько решений может иметь задача?

Построение

Искомая точка должна удовлетворять двум геометрическим условиям:
1. Быть равноудалённой от сторон угла $ABC$. Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, является его биссектрисой. Обозначим биссектрису угла $ABC$ как луч $b$.
2. Находиться на расстоянии 2 см от прямой $l$. Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии от прямой, — это две параллельные прямые, расположенные по обе стороны от данной прямой на этом расстоянии.

Следовательно, искомые точки являются точками пересечения этих двух геометрических мест. Алгоритм построения следующий:
1. Построить луч $b$ — биссектрису угла $ABC$.
2. Построить две прямые, $m_1$ и $m_2$, параллельные прямой $l$ и находящиеся на расстоянии 2 см от неё. Для этого нужно выбрать произвольную точку на прямой $l$, провести через неё перпендикуляр к $l$ и отложить на нём в обе стороны отрезки длиной 2 см. Через концы этих отрезков провести прямые, параллельные $l$.
3. Точки пересечения луча $b$ с прямыми $m_1$ и $m_2$ и будут искомыми точками.
Ответ: Искомые точки — это точки пересечения биссектрисы угла $ABC$ с двумя прямыми, которые параллельны прямой $l$ и удалены от неё на 2 см.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи равно числу точек пересечения луча $b$ (биссектрисы угла) с парой параллельных прямых $m_1$ и $m_2$. Это число зависит от взаимного расположения угла $ABC$ (в частности, его вершины $B$ и биссектрисы $b$) и прямой $l$.

Рассмотрим возможные случаи:
1. 0 решений. Если биссектриса $b$ параллельна прямой $l$ (а значит, и прямым $m_1$ и $m_2$), то она не пересечёт ни одну из них, так как не совпадает с ними. В этом случае решений нет.
2. 1 решение. Если вершина угла $B$ находится между прямыми $m_1$ и $m_2$ (то есть расстояние от точки $B$ до прямой $l$ строго меньше 2 см), то луч $b$, исходящий из точки $B$, пересечёт только одну из этих двух прямых. В этом случае задача имеет одно решение.
3. 2 решения. Этот случай возможен в двух ситуациях:
а) Если вершина угла $B$ находится вне полосы, ограниченной прямыми $m_1$ и $m_2$ (расстояние от $B$ до $l$ больше 2 см). Так как по условию прямая $l$ пересекает стороны угла, луч $b$ будет направлен в сторону этой полосы и пересечёт последовательно обе прямые, $m_1$ и $m_2$.
б) Если вершина угла $B$ лежит на одной из прямых, $m_1$ или $m_2$ (расстояние от $B$ до $l$ равно 2 см). Тогда сама точка $B$ является одним решением. Луч $b$, выходя из точки $B$, пересечёт вторую параллельную прямую, что даст второе решение.

Таким образом, задача может иметь ноль, одно или два решения.
Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения.