Номер 182, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Даны прямая $a$ и принадлежащая ей точка $B$. Постройте точку, удалённую от точки $B$ на 4 см и от прямой $a$ на 3 см. Сколько решений имеет задача?

182. Даны прямая $a$ и принадлежащая ей точка $B$. Постройте точку, удалённую от точки $B$ на 4 см и от прямой $a$ на 3 см. Сколько решений имеет задача?

Для решения этой задачи используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка должна одновременно удовлетворять двум условиям:

1. Находиться на расстоянии 4 см от точки B.
2. Находиться на расстоянии 3 см от прямой a.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от точки B на 4 см, — это окружность с центром в точке B и радиусом $R = 4$ см.

2. Геометрическое место точек, равноудаленных от прямой a на 3 см, — это две прямые, параллельные прямой a и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии 3 см.

Искомые точки являются точками пересечения этих двух ГМТ: окружности и двух параллельных прямых. Для того чтобы найти количество решений, необходимо определить, сколько точек пересечения имеют эти фигуры.

Построение:

• Проводим прямую a и отмечаем на ней точку B.
• С помощью циркуля строим окружность с центром в точке B и радиусом 4 см.
• Через точку B проводим прямую, перпендикулярную прямой a.
• На этой перпендикулярной прямой откладываем от точки B в обе стороны отрезки длиной по 3 см.
• Через концы этих отрезков проводим две прямые, параллельные прямой a.
• Точки пересечения построенной окружности и двух параллельных прямых являются искомыми точками.

Анализ количества решений:

Центр окружности (точка B) лежит на прямой a. Параллельные прямые находятся на расстоянии 3 см от прямой a, следовательно, и от центра окружности. Радиус окружности равен 4 см.

Поскольку расстояние от центра окружности до каждой из параллельных прямых ($d=3$ см) меньше радиуса окружности ($R=4$ см), то окружность будет пересекать каждую из этих прямых в двух точках.

Это можно также проверить аналитически. Пусть искомая точка — M, а ее проекция на прямую a — H. Тогда MH — расстояние от точки M до прямой a, то есть $MH = 3$ см. Расстояние от M до B по условию равно $MB = 4$ см. Точка B лежит на прямой a. Таким образом, точки M, H и B образуют прямоугольный треугольник MBH с гипотенузой MB.

По теореме Пифагора:

$BH^2 + MH^2 = MB^2$

$BH^2 + 3^2 = 4^2$

$BH^2 + 9 = 16$

$BH^2 = 7$

$BH = \sqrt{7}$ см.

Это означает, что проекции искомых точек на прямую a находятся на расстоянии $\sqrt{7}$ см от точки B. Таких проекций (точек H) две — по одну и по другую сторону от B. Для каждой из этих двух проекций существуют две искомые точки M, расположенные на перпендикуляре к прямой a на расстоянии 3 см (по разные стороны от прямой a).

Таким образом, окружность пересекает одну параллельную прямую в двух точках и вторую параллельную прямую также в двух точках. Всего получается 4 точки пересечения, которые и являются решениями задачи.

Ответ: Задача имеет 4 решения.