Номер 31, страница 8 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Луч $DC$ проходит между сторонами угла $ADK$. Луч $DM$ – биссектриса угла $ADC$, луч $DP$ – биссектриса угла $CDK$. Найдите угол $ADK$, если $\angle MDP = 82^\circ$.

31. Луч $DC$ проходит между сторонами угла $ADK$. Луч $DM$ — биссектриса угла $ADC$, луч $DP$ — биссектриса угла $CDK$. Найдите угол $ADK$, если $\angle MDP = 82^\circ$.

По условию задачи, луч $DC$ проходит между сторонами угла $ADK$. Это означает, что угол $ADK$ является суммой двух смежных углов $ADC$ и $CDK$.

$\angle ADK = \angle ADC + \angle CDK$

Луч $DM$ — биссектриса угла $ADC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, поэтому:

$\angle MDC = \frac{1}{2} \angle ADC$

Аналогично, луч $DP$ — биссектриса угла $CDK$, следовательно:

$\angle CDP = \frac{1}{2} \angle CDK$

Угол $MDP$ состоит из двух углов $MDC$ и $CDP$, так как луч $DC$ лежит между лучами $DM$ и $DP$. Таким образом, мы можем записать:

$\angle MDP = \angle MDC + \angle CDP$

Теперь подставим в это равенство выражения для углов $\angle MDC$ и $\angle CDP$ через углы $\angle ADC$ и $\angle CDK$:

$\angle MDP = \frac{1}{2} \angle ADC + \frac{1}{2} \angle CDK$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle MDP = \frac{1}{2} (\angle ADC + \angle CDK)$

Так как $\angle ADC + \angle CDK = \angle ADK$, мы можем заменить сумму в скобках на $\angle ADK$:

$\angle MDP = \frac{1}{2} \angle ADK$

По условию, $\angle MDP = 82^\circ$. Подставим это значение в полученную формулу:

$82^\circ = \frac{1}{2} \angle ADK$

Чтобы найти величину угла $ADK$, умножим обе части уравнения на 2:

$\angle ADK = 2 \times 82^\circ = 164^\circ$

Ответ: $164^\circ$.