Номер 64, страница 12 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. На рисунке 27 $AC = CD$, $\angle MAF = \angle TDK$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DEC$.

64. На рисунке 27 $AC = CD$, $\angle MAF = \angle TDK$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DEC$.

Рис. 27

Для доказательства того, что $\triangle ABC = \triangle DEC$, воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$ и сравним их элементы:

1. Сторона: По условию задачи дано, что $AC = CD$.

2. Первый прилежащий угол: Углы $\angle BCA$ и $\angle DCE$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AE$ и $BD$. Согласно свойству вертикальных углов, они равны: $\angle BCA = \angle DCE$.

3. Второй прилежащий угол: Нам нужно сравнить углы $\angle BAC$ и $\angle CDE$.
- Угол $\angle BAC$ и угол $\angle MAF$ являются вертикальными (образованы при пересечении прямых $BF$ и $ME$). Следовательно, $\angle BAC = \angle MAF$.
- Угол $\angle CDE$ и угол $\angle TDK$ также являются вертикальными (образованы при пересечении прямых $BK$ и $TE$). Следовательно, $\angle CDE = \angle TDK$.
- По условию задачи известно, что $\angle MAF = \angle TDK$.
- Так как $\angle BAC = \angle MAF$ и $\angle CDE = \angle TDK$, из равенства $\angle MAF = \angle TDK$ следует, что $\angle BAC = \angle CDE$.

Таким образом, мы установили, что сторона и два прилежащих к ней угла треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам треугольника $\triangle DEC$ ($AC = CD$, $\angle BCA = \angle DCE$, $\angle BAC = \angle CDE$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle ABC = \triangle DEC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC = \triangle DEC$ доказано.