Номер 60, страница 12 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Равные отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO : OB = CO : OD = 2 : 1$. Докажите, что $\triangle AOD = \triangle COB$.

60. Равные отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO : OB = CO : OD = 2 : 1$. Докажите, что $\triangle AOD = \triangle COB$.

По условию задачи дано, что отрезки $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$) и пересекаются в точке $O$ так, что $AO : OB = 2 : 1$ и $CO : OD = 2 : 1$.

Введем переменные для длин отрезков. Пусть $OB = x$ и $OD = y$. Тогда из данных соотношений следует, что $AO = 2x$ и $CO = 2y$. Длины полных отрезков будут равны $AB = AO + OB = 2x + x = 3x$ и $CD = CO + OD = 2y + y = 3y$.

Поскольку по условию $AB = CD$, мы можем приравнять их выражения: $3x = 3y$, из чего следует, что $x = y$. Это означает, что соответствующие части отрезков равны:

• $OB = x$ и $OD = y$, значит $OB = OD$.
• $AO = 2x$ и $CO = 2y$, значит $AO = CO$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. Сравним их элементы:

1. Сторона $AO$ треугольника $\triangle AOD$ равна стороне $CO$ треугольника $\triangle COB$ ($AO = CO$).

2. Сторона $OD$ треугольника $\triangle AOD$ равна стороне $OB$ треугольника $\triangle COB$ ($OD = OB$).

3. Угол $\angle AOD$ равен углу $\angle COB$ ($\angle AOD = \angle COB$), так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$.

Таким образом, две стороны и угол между ними одного треугольника ($\triangle AOD$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($\triangle COB$). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOD = \triangle COB$.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle AOD = \triangle COB$ доказано.