Номер 59, страница 11 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AD$ и $BE$. Периметры треугольников $ABE$ и $BEC$ равны, а периметр треугольника $ABD$ больше периметра треугольника $ADC$ на 2 см. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AB = 6$ см.

59. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AD$ и $BE$. Периметры треугольников $ABE$ и $BEC$ равны, а периметр треугольника $ABD$ больше периметра треугольника $ADC$ на 2 см. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AB = 6$ см.

По условию, в треугольнике $ABC$ проведены медианы $AD$ и $BE$. Из определения медианы следует, что точка $D$ — середина стороны $BC$ (то есть $BD = DC$), а точка $E$ — середина стороны $AC$ (то есть $AE = EC$).

Рассмотрим первое условие: периметры треугольников $ABE$ и $BEC$ равны ($P_{ABE} = P_{BEC}$). Периметр треугольника $ABE$ вычисляется по формуле $P_{ABE} = AB + AE + BE$. Периметр треугольника $BEC$ вычисляется по формуле $P_{BEC} = BC + EC + BE$. Приравнивая их, получаем: $AB + AE + BE = BC + EC + BE$ Вычтем из обеих частей равенства длину общей стороны $BE$: $AB + AE = BC + EC$ Поскольку $BE$ — медиана, то $AE = EC$. Заменим $EC$ на $AE$ в равенстве и затем сократим $AE$: $AB + AE = BC + AE$ $AB = BC$ Так как по условию $AB = 6$ см, то и $BC = 6$ см.

Рассмотрим второе условие: периметр треугольника $ABD$ больше периметра треугольника $ADC$ на 2 см ($P_{ABD} = P_{ADC} + 2$). Периметр треугольника $ABD$ равен $P_{ABD} = AB + BD + AD$. Периметр треугольника $ADC$ равен $P_{ADC} = AC + DC + AD$. Подставим эти выражения в условие: $AB + BD + AD = (AC + DC + AD) + 2$ Вычтем из обеих частей равенства длину общей стороны $AD$: $AB + BD = AC + DC + 2$ Поскольку $AD$ — медиана, то $BD = DC$. Заменим $DC$ на $BD$ в равенстве и затем сократим $BD$: $AB + BD = AC + BD + 2$ $AB = AC + 2$ Подставим известное значение $AB = 6$ см: $6 = AC + 2$ Отсюда находим длину стороны $AC$: $AC = 6 - 2 = 4$ см.

Теперь, зная длины всех сторон треугольника $ABC$, мы можем найти его периметр ($P_{ABC}$): $AB = 6$ см, $BC = 6$ см, $AC = 4$ см. $P_{ABC} = AB + BC + AC = 6 + 6 + 4 = 16$ см.

Ответ: 16 см.