Номер 66, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. На рисунке 29 $AE = DC$, $\angle BDE = \angle BED$, $\angle A = \angle C$. Докажите, что $\angle ABD = \angle CBE$.

Рис. 29

66. На рисунке 29 $AE = DC$, $\angle BDE = \angle BED$, $\angle A = \angle C$. Докажите, что $\angle ABD = \angle CBE$.

Рис. 29

Для доказательства равенства углов $\angle ABD$ и $\angle CBE$ мы докажем, что треугольники, содержащие эти углы, а именно $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$, равны между собой.

1. Рассмотрим $\triangle BDE$. По условию задачи дано, что $\angle BDE = \angle BED$. В треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, треугольник $BDE$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $BD = BE$.

2. Рассмотрим больший треугольник $\triangle ABC$. По условию $\angle A = \angle C$. Это означает, что $\triangle ABC$ также является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив этих углов, равны: $AB = CB$.

3. Проанализируем отрезки на основании $AC$. По условию $AE = DC$. Отрезок $AE$ можно представить как сумму отрезков $AD$ и $DE$, то есть $AE = AD + DE$. Аналогично, отрезок $DC$ можно представить как $DC = DE + EC$. Так как $AE = DC$, то мы можем записать равенство: $AD + DE = DE + EC$. Вычитая из обеих частей этого равенства общий отрезок $DE$, получаем $AD = EC$.

4. Теперь сравним треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$. Мы установили равенство трёх пар их соответствующих сторон:

• $AB = CB$ (доказано в пункте 2).
• $BD = BE$ (доказано в пункте 1).
• $AD = EC$ (доказано в пункте 3).

Таким образом, $\triangle ABD = \triangle CBE$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle ABD$ в треугольнике $ABD$ лежит напротив стороны $AD$, а угол $\angle CBE$ в треугольнике $CBE$ лежит напротив стороны $EC$. Так как стороны $AD$ и $EC$ равны, то и противолежащие им углы также равны. Следовательно, $\angle ABD = \angle CBE$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $\angle ABD = \angle CBE$ доказано.