Номер 68, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. На рисунке 31 $BO = OD$, $AB = CD$, $\angle ABD = \angle BDC$. Докажите, что $\triangle MOD = \triangle KOB$.

Рис. 31

68. На рисунке 31 $BO = OD$, $AB = CD$, $\angle ABD = \angle BDC$. Докажите, что $\Delta MOD = \Delta KOB$.

Рис. 31

Для доказательства того, что $\Delta MOD = \Delta KOB$, необходимо последовательно доказать равенство нескольких пар треугольников.

1. Рассмотрим треугольники $\Delta ABD$ и $\Delta CDB$.
Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
- Сторона $AB$ равна стороне $CD$ ($AB = CD$).
- Угол $\angle ABD$ равен углу $\angle BDC$ ($\angle ABD = \angle BDC$).
- Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.
Таким образом, треугольник $\Delta ABD$ равен треугольнику $\Delta CDB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

2. Найдем следствия из равенства $\Delta ABD$ и $\Delta CDB$.
Поскольку треугольники $\Delta ABD$ и $\Delta CDB$ равны, то равны и все их соответствующие элементы. В частности, равны углы, лежащие против равных сторон $AB$ и $CD$.
Следовательно, $\angle ADB = \angle CBD$.

3. Докажем равенство треугольников $\Delta MOD$ и $\Delta KOB$.
Теперь рассмотрим треугольники, равенство которых требуется доказать.
- Сторона $BO$ равна стороне $OD$ ($BO = OD$) по условию задачи.
- Угол $\angle KOB$ равен углу $\angle MOD$ ($\angle KOB = \angle MOD$), так как они являются вертикальными углами.
- Угол $\angle KBO$ равен углу $\angle MDO$ ($\angle KBO = \angle MDO$), так как это те же углы, что и $\angle CBD$ и $\angle ADB$, равенство которых мы установили в предыдущем пункте.
Таким образом, треугольник $\Delta MOD$ равен треугольнику $\Delta KOB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\Delta MOD$ и $\Delta KOB$ доказано.