Номер 69, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. На рисунке 32 $AB = BC$, $AD = CE$, $\angle BAD = \angle BCE$. Найдите длину отрезка $AE$, если $CD = 8 \text{ см}$.

Рис. 32

69. На рисунке 32 $AB = BC, AD = CE, \angle BAD = \angle BCE$. Найдите длину отрезка $AE$, если $CD = 8$ см.

Для нахождения длины отрезка $AE$ рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CBD$.

По условию задачи дано, что $AB = BC$. Точка $D$ лежит на отрезке $AB$, а точка $E$ — на отрезке $BC$. Это означает, что длины сторон $AB$ и $BC$ можно выразить через длины составляющих их отрезков:
$AB = AD + DB$
$BC = BE + EC$

Так как $AB = BC$, мы можем приравнять правые части этих выражений:
$AD + DB = BE + EC$

В условии также сказано, что $AD = CE$. Подставим это значение в полученное равенство:
$CE + DB = BE + CE$

Вычитая $CE$ из обеих частей уравнения, получаем, что $DB = BE$.

Теперь у нас есть достаточно данных для сравнения треугольников $\triangle ABE$ и $\triangle CBD$. Применим первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
1. $AB = CB$ (согласно условию).
2. $BE = BD$ (как было доказано выше).
3. Угол при вершине $B$, то есть $\angle ABC$, является общим для обоих треугольников. Следовательно, $\angle ABE = \angle CBD$.

На основании этих трех пунктов мы можем заключить, что треугольники равны: $\triangle ABE \cong \triangle CBD$.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон. В $\triangle ABE$ сторона $AE$ лежит напротив угла $\angle ABE$. В $\triangle CBD$ сторона $CD$ лежит напротив угла $\angle CBD$. Поскольку углы $\angle ABE$ и $\angle CBD$ равны, то и противолежащие им стороны также равны: $AE = CD$.

По условию задачи нам известно, что $CD = 8$ см.

Таким образом, длина отрезка $AE$ также равна 8 см.

Ответ: 8 см.