Номер 135, страница 46 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Через вершину $C$ треугольника $ABC$ провели прямую, пересекающую сторону $AB$ в точке $F$. Из точек $A$ и $B$ на прямую $CF$ опустили перпендикуляры $AM$ и $BN$. Докажите, что если $FM = FN$, то отрезок $CF$ – медиана треугольника $ABC$.

135. Через вершину $C$ треугольника $ABC$ провели прямую, пересекающую сторону $AB$ в точке $F$. Из точек $A$ и $B$ на прямую $CF$ опустили перпендикуляры $AM$ и $BN$. Докажите, что если $FM = FN$, то отрезок $CF$ — медиана треугольника $ABC$.

Для доказательства утверждения рассмотрим прямоугольные треугольники $ΔAFM$ и $ΔBFN$.

1. По условию, из точек A и B опущены перпендикуляры $AM$ и $BN$ на прямую $CF$. Это означает, что углы $∠AMF$ и $∠BNF$ являются прямыми: $∠AMF = ∠BNF = 90°$.

2. Углы $∠AFM$ и $∠BFN$ равны как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $AB$ и $MN$.

3. По условию задачи нам дано, что $FM = FN$.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника ($ΔAFM$ и $ΔBFN$), у которых равны катет и прилежащий к нему острый угол:

• $FM = FN$ (по условию)
• $∠AFM = ∠BFN$ (как вертикальные)

Следовательно, прямоугольные треугольники $ΔAFM$ и $ΔBFN$ равны по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Гипотенуза $AF$ треугольника $ΔAFM$ соответствует гипотенузе $BF$ треугольника $ΔBFN$. Значит, $AF = BF$.

Поскольку точка $F$ делит сторону $AB$ пополам, она является серединой отрезка $AB$.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой. Следовательно, отрезок $CF$ является медианой треугольника $ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.