Номер 138, страница 46 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ провели высоты $AH$ и $A_1H_1$. Докажите, что если $AB = A_1B_1$, $CH = C_1H_1$ и $\angle CAH = \angle C_1A_1H_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

138. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ провели высоты $AH$ и $A_1H_1$. Докажите, что если $AB = A_1B_1$, $CH = C_1H_1$ и $\angle CAH = \angle C_1A_1H_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Пусть даны два остроугольных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. В них проведены высоты $AH$ и $A_1H_1$ к сторонам $BC$ и $B_1C_1$ соответственно. По условию задачи известно, что $AB = A_1B_1$, $CH = C_1H_1$ и $\angle CAH = \angle C_1A_1H_1$. Необходимо доказать равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство

Доказательство можно провести в три шага.

1. Сначала рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHC$ и $\triangle A_1H_1C_1$. Так как $AH$ и $A_1H_1$ — высоты, то углы $\angle AHC$ и $\angle A_1H_1C_1$ прямые и равны $90^\circ$. По условию, у этих треугольников равны катет и прилежащий к нему острый угол:

- $CH = C_1H_1$ (катеты)

- $\angle CAH = \angle C_1A_1H_1$ (прилежащие острые углы)

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AHC$ и $\triangle A_1H_1C_1$ равны по катету и прилежащему острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов: $AH = A_1H_1$ и $AC = A_1C_1$.

2. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle A_1H_1B_1$. Их углы $\angle AHB$ и $\angle A_1H_1B_1$ также равны $90^\circ$. Сравним следующие элементы этих треугольников:

- $AB = A_1B_1$ (гипотенузы, по условию)

- $AH = A_1H_1$ (катеты, доказано в предыдущем шаге)

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle A_1H_1B_1$ равны по гипотенузе и катету. Из этого равенства следует, что $BH = B_1H_1$ и $\angle B = \angle B_1$.

3. Наконец, докажем равенство исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, используя первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

- Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ по условию.

- Угол $\angle B$ равен углу $\angle B_1$, как доказано в шаге 2.

- Найдем сторону $BC$. Поскольку $\triangle ABC$ остроугольный, основание высоты $H$ лежит на отрезке $BC$, и, следовательно, $BC = BH + CH$. Аналогично для $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $B_1C_1 = B_1H_1 + C_1H_1$. Так как из шага 2 мы знаем, что $BH = B_1H_1$, а по условию $CH = C_1H_1$, то $BC = B_1H_1 + C_1H_1 = B_1C_1$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $\angle B = \angle B_1$). Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ доказано.